文字式による説明①

　文字式を使って説明しなさい。

nを整数だとすると、連続する3つの整数は（①）と表せる。　

答え
（①）n，n＋1，n＋2

nを整数だとすると、偶数は（②）と表せる。

答え
（②）2n

解説・ヒント
偶数は2の倍数。

nを整数だとすると、奇数は（③）または（④）と表せる。

答え
（③）2n＋1（④）2n－1

解説・ヒント
奇数は2で割り切れない数。

nを整数だとすると、連続する2つの偶数は（⑤）と表せる。

答え
（⑤）2n, 2n+2

解説・ヒント
連続する偶数は、2ずつ増えていくため、2nの次の偶数は2n＋2。

nを整数だとすると、連続する2つの奇数は（⑥）または（⑦）と表せる。

答え
（⑥）2n＋1,2n＋3（⑦）2n－1,2n＋1

解説・ヒント
連続する奇数は、2ずつ増えていくため、2n－1の次の奇数は2n＋1、2n＋1の次の奇数は2n＋3。

連続する3つの整数の和が（⑧）になるので、3の倍数となる。

答え
（⑧）3n

解説・ヒント
連続する3つの整数はn－1, n , n＋1。(n－1)＋n＋(n＋1)=3n

偶数と偶数の和は（⑨）になるので、偶数となる。

答え
（⑨）2（m＋n）

解説・ヒント
偶数2mと2nの和2m＋2n＝2（m＋n）

奇数と奇数の和は（⑩）になるので、偶数となる。

答え
（⑩）2（n＋m－1）

解説・ヒント
奇数（2n－1）（2m－1）の和（2n－1）＋（2m－1）＝2n＋2m－2＝2（n＋m－1）

3つの連続する偶数の和は（⑪）になるので、6の倍数となる。

答え
（⑪）6（n＋1）

解説・ヒント
奇数（2n）（2n＋2）（2n＋4）の和（2n）＋（2n＋2）＋（2n＋4）＝6n＋6＝6（n＋1）

連続する2つの偶数のうち、その2つの偶数の2乗の差は（⑫）になるので、4の倍数となる。

答え
（⑫）4（2n＋1）

解説・ヒント
連続する偶数（2n）（2n＋2）の2乗の差（2n＋2）²－（2n）²＝4n²＋8n＋4－4n²＝8n＋4＝4（2n＋1）

連続する2つの奇数のうち、その2つの奇数の2乗の差は（⑬）になるので、8の倍数となる。

答え
（⑬）8（n＋1）

解説・ヒント
連続する奇数（2n＋1）（2n＋3）の2乗の差（2n＋3）²－（2n＋1）²＝4n²＋12n＋9－4n²－4n－1＝8n＋8＝8（n＋1）

3桁の整数の各桁の和が3の倍数であるとき、この3桁の整数は3の倍数となる。式を用いて説明しなさい。（⑭）

答え
（⑭）
3桁の整数は、1の位をa、10の位をb、100の位をcとすると100a＋10b＋c
100a＋10b＋c＝（99a＋a）＋（9b＋b）＋c＝99a＋9b＋（a＋b＋c）＝3（33a＋3b）＋（a＋b＋c）
3（33a＋3b）は3の倍数　3桁の整数の各桁の和（a＋b＋c）も3の倍数　よってこの3桁の整数は3の倍数となる。

文字式による説明②

　四角形ABCDについて次の問いに答えなさい。

ABを軸として四角形ABCDを1回転してできる円注の体積は（①）と表せる。　

答え
（①）π𝓍²𝓎

解説・ヒント
円注の体積＝ (底面積＝半径²×π) × (高さ)

　直角三角形ABCについて次の問いに答えなさい。

ABを軸として三角形ABCを1回転してできる円錐の体積は（②）と表せる。　

答え
（②）π𝓍³

解説・ヒント
円錐の体積＝ (底面積＝半径²×π) × (高さ) × (1/3)

BCを軸として三角形ABCを1回転してできる円錐の体積は（③）と表せる。　

答え
（③）3π𝓍³

解説・ヒント
円錐の体積＝ 底面と高さが同じ円柱の体積の1/3

底面の半径が𝓍、高さが𝓎の円錐の体積は（④）で半径を2倍、高さを1/4にした円錐の体積は（⑤）で、それぞれの体積の差は（⑥）。　

答え
（④） 1 3π𝓍²𝓎
（⑤） 1 3π𝓍²𝓎

（⑥）等しい

　1辺が 𝓍 ｍ の正方形の池の周りに幅 a ｍ の道路がある。この道路の面積を S ｍ² 、
道路の真ん中を走る線の1周の長さを ℓ ｍとするとき S ＝ a ℓ となることを証明せよ。（⑦）

　

答え
（⑦）
S＝（𝓍＋2a）²－𝓍²
＝ 4a𝓍＋4a²
＝a（4𝓍＋4a）
ℓ＝𝓍＋ a 2＋ a 2
＝𝓍＋a
＝4𝓍＋4a
S ＝ a ℓ

解説・ヒント
S＝（全体の面積）－（池の面積）
ℓ＝（池の１辺）＋（道路の幅aの半分）＋（道路の幅aの半分）
ℓは1週の長さなので4倍する。

　半径が 𝓍 ｍ の円の池の周りに幅 a ｍ の道路がある。この道路の面積を S ｍ² 、
道路の真ん中を走る線の1周の長さを ℓ ｍとするとき S ＝ a ℓ となることを証明せよ。（⑧）

　

答え
（⑧）
S＝π（𝓍＋a）²－π𝓍²
＝ π（𝓍²＋2a𝓍＋a²）－π𝓍²
＝π𝓍²＋2πa𝓍＋πa²－π𝓍²
＝2πa𝓍＋πa²
ℓ＝2×π×（𝓍＋ a 2）
＝2π𝓍＋πa
a ℓ＝2πa𝓍＋πa²
S ＝ a ℓ

解説・ヒント
S＝（全体の面積）－（池の面積）
ℓ＝（半径𝓍＋ a 2）ｍの円周の長さ
円周＝2×π×（半径）

　おうぎ形の面積を S 弧の長さを ℓ 半径を r 中心角を a としたとき
S＝ 1 2ℓrとなることを証明しなさい。（⑨）

答え
（⑨）
ℓ＝2πr× a 360より
1 2ℓ＝πr× a 360
S ＝ π r² × a 360
＝r×πr× a 360代入して
＝r× 1 2ℓ
＝ 1 2ℓr

解説・ヒント
おうぎ形の弧の長さ＝2π×半径× 角度 360
おうぎ形の面積＝ π ×半径² × 角度 360

等式の変形

　次の等式を〔　〕の中の文字について解きなさい。

2𝓍＋𝓎＝4〔𝓎〕（①）　

答え
（①）𝓎＝－2𝓍＋4

－4𝓍＋2𝓎＝12〔𝓎〕（②）　

答え
（②）𝓎＝2𝓍＋6

4𝓍＋3𝓎＝－6𝓍－2𝓎＋20〔𝓎〕（③）　

答え
（③）𝓎＝－2𝓍＋4

－2𝓍－4𝓎＋2𝓏＝6〔𝓍〕（④）　

答え
（④）𝓍＝－2𝓎＋𝓏－3

－3𝓍－4𝓎＝－3𝓎－5𝓍＋1〔𝓍〕（⑤）　

答え
（⑤）𝓍＝ 𝓎＋1 2

2𝓍－5𝓎＝－ 1 4〔𝓎〕（⑥）　

答え
（⑥）𝓎＝ 2 5𝓍＋ 1 20

2𝓎 𝓍＋𝓏＝1〔𝓎〕（⑦）　

答え
（⑦）𝓎＝ 𝓍－𝓍𝓏 2

𝓏＝ 𝓍－2𝓎 4〔𝓎〕（⑧）　

答え
（⑧）𝓎＝ 𝓍－4𝓏 2

1＋ 2𝓍 𝓎＝𝓎〔𝓍〕（⑨）　

答え
（⑨）𝓍＝ 𝓎²－𝓎 2

3𝓍＋2𝓎＝5𝓍－5〔𝓎〕（⑩）　

答え
（⑩）𝓎＝𝓍－ 5 2